多边形的内角和公式

概述

多边形是指由三个或三个以上的线段首尾相接形成的封闭图形。它是许多几何学问题的基础形式。在研究多边形时，内角和公式是非常基础而重要的概念。

内角和公式

对于任意一个n边形（n≥3），其内角和的大小为（n-2）×180度。假设这个n边形的内角分别为a1, a2, a3,......, an，则内角和公式可以表示为：

(a1+a2+a3+...+an) = (n-2)×180度

具体而言，对于三角形，其内角和为180度；四边形的内角和为360度；五边形的内角和为540度；以此类推。

内角和公式的推导

内角和公式的推导可以通过数学归纳法来证明。

1. 当n=3时，三角形的内角和为180度，等式成立。

2. 假设当n=k时，等式成立。

3. 当n=k+1时，考虑添加一条边使得原来的k边形变成k+1边形。新加入的边与原来的边构成一个三角形，其内角和为180度。这样，原来k边形的内角和与新加入的三角形的内角和之和就等于k×180度+180度。而k+1边形的内角和就是原来k边形的内角和与新加入的角之和，即(k×180度+180度)+a(k+1)。根据假设以及等号两边的移项，可以得到：

k×180度+180度+a(k+1)=(k+1)×180度

因此，等式成立。